平田智剛のブログ

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シグモイド関数yが(0, 0.5)に対して点対称であることを証明してみた

シグモイド関数yが(0, 0.5)に対して点対称であることを証明せよ

$y=\frac{1}{1+\exp(-ax)}$ が点 $(0, 0.5)$ に対して対称であることは
$y=\frac{1}{1+\exp(-ax)}-0.5$ が原点対称であることに同値。
また、 $y=f(x)$ が原点対称というのは、
「 $f$ が $(-x,-f(x))$ を通ることに同値である」ことに同値である。
また $f$ は $(-x,f(-x))$ も通るので、 $-f(x)=f(-x)$ に同値といってもよい。
　
すなわち、 $y=\frac{1}{1+exp(-ax)}-0.5$ が原点対称であることは
$-(\frac{1}{1+\exp(-ax)}-0.5)=\frac{1}{1+\exp(ax)}-0.5$ であることに同値だ。
$-\frac{1}{1+\exp(-ax)}=\frac{1}{1+\exp(ax)}-1$
$-1=\frac{1+\exp(-ax)}{1+\exp(ax)}-(1+\exp(-ax))$
$0=\frac{1+\exp(-ax)}{1+\exp(ax)}-\exp(-ax)$
$\exp(-ax)=\frac{1+\exp(-ax)}{1+\exp(ax)}$
$(1+\exp(ax))\exp(-ax)=1+\exp(-ax)$
$\exp(-ax)+1=1+\exp(-ax)$
QED