1. 2次元空間内における極座標

$x_1x_2$ 平面内の単位ベクトル $\overrightarrow{OP}$ は、必ず次のように描くことのできる実数 $\theta_{1→2:α}$ を持つ。
$\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{a}\cos\theta_{1→2:α}\\\sin\theta_{1→2:α}\end{array}\right)$
但し $\theta_{i→j:k}$ は、 $x_i$ 軸から $x_j$ 軸に向かっての角度であることを表現しているものであり、またこれにより定まる方向を仮想的な軸 $k$ と宣言するものである。
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2. 3次元空間内における極座標

なぜ1章で、わざわざ $\alpha$ なんてものを用意したのか。
それは3次元以上の空間における極座標を考えるとき、2次元平面内に持ち込んで考えることを可能にするためである。
$x_1x_2x_3$ 立体内の単位ベクトル $\overrightarrow{OP}$ を考えよう。
まず $x_2x_3$ 平面内の角度 $\theta_{2→3:α_1}$ をうまいこと考え、
点 $P$ が $x_1α_1$ 平面に重なるようにする。
そして次に $x_1α_1$ 平面内の回転角度 $\theta_{1→α_1:\alpha_2}$ を考えればよいのだ。
f:id:ec084:20200821090500p:plain $x_1α_1$ 平面についてのベクトルを考えるとき、
$\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{a}x_1\\α_1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{a}\cos\theta_{1→α_1:\alpha_2}\\\sin\theta_{1→α_1:\alpha_2}\end{array}\right)$
となるのだが、今回は $x_1x_2x_3$ 空間についてのベクトルを考えなくてはいけないので、
$\alpha_1$ を $x_2$ と $x_3$ でさらに表現しなおす必要がある。
つまり
$\left(\begin{array}{c}x_1\\ \left(\begin{array}{b} x_2 \\x_3 \end{array}\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{a}\cos\theta_{1→α_1:\alpha_2}\\r\left(\begin{array}{b}\cos\theta_{2→3:α_1}\\\sin\theta_{2→3:α_1}\end{array}\right)\end{array}\right)$
ということだ。ここで $r$ とは $\alpha_1$ の絶対値のことで、具体的には $\sin\theta_{1→α_1:\alpha_2}$ である。
よって、 $x_1x_2x_3$ 空間についての単位ベクトルは
$\left(\begin{array}{a}x_1\\x_2 \\x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{a}\cos\theta_{1→α_1:\alpha_2}\\\sin\theta_{1→α_1:\alpha_2}\cos\theta_{2→3:α_1}\\\sin\theta_{1→α_1:\alpha_2}\sin\theta_{2→3:α_1}\end{array}\right)$ である。

3. 一般化してみよう。(n次元の場合)

2章で記述した、次に再掲する式を見てほしい。(但し $r$ は具体値を代入した。)
$\left(\begin{array}{c}x_1\\ \left(\begin{array}{b} x_2 \\x_3 \end{array}\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{a}\cos\theta_{1→α_1:\alpha_2}\\\sin\theta_{1→α_1:\alpha_2}\left(\begin{array}{b}\cos\theta_{2→3:α_1}\\\sin\theta_{2→3:α_1}\end{array}\right)\end{array}\right)$
この式は、 $x_1x_2x_3$ 立体を、 $x_1$ 直線成分と $x_2x_3$ 平面成分の2成分からなるものと捉えることで、2次元極座標を3次元空間に持ち込んでいる様子を表現している。
　
同じ考え方は、4次元以降の空間にも適用可能である。
例えば $x_1x_2...x_n$ による $n$ 次元空間上の単位ベクトルは、 $x_1$ 直線成分と $x_2x_3...x_n$ による $n-1$ 次元空間成分の2成分からなるものと捉えれば、
$\left(\begin{array}{c}x_1\\ \left(\begin{array}{c} x_2 \\x_3\\:\\x_n \end{array}\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{a}\cos\theta_{1→α_i:\alpha_{i+1}}\\\sin\theta_{1→α_i:\alpha_{i+1}}((x_2～x_nによる)n-1次元空間上の単位ベクトル)　　　　　　　　　　\end{array}\right)$
とかける。
これは、次元を1つずつ減らしながら再帰している。
再帰代入を実行すると、次のようにかくことが出来る。
$\left(\begin{array}{c}x_1\\ \left(\begin{array}{c}x_2 \\ \left(\begin{array}{c}x_3\\ \left(\begin{array}{c}:\\ \left(\begin{array}{c}x_{n-2}\\\left(\begin{array}{c}x_{n-1}\\x_n \end{array}\right)\end{array}\right)\end{array}\right)\end{array}\right)\end{array}\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{a}\cos\theta_{1→α_{n-2}:\alpha_{n-1}}\\\sin\theta_{1→α_{n-2}:\alpha_{n-1}}\left(\begin{array}{a}\cos\theta_{2→α_{n-3}:\alpha_{n-2}}\\\sin\theta_{2→α_{n-3}:\alpha_{n-2}}\left(\begin{array}{a}\cos\theta_{3→α_{n-4}:\alpha_{n-3}}\\\sin\theta_{3→α_{n-4}:\alpha_{n-3}}\left(\begin{array}{a} \\...\left(\begin{array}{a}\cos\theta_{n-2→\alpha_1:\alpha_2}\\\sin\theta_{n-2→\alpha_1:\alpha_2}\left(\begin{array}{a}\cos\theta_{n-1→n:\alpha_1}\\\sin\theta_{n-1→n:\alpha_1}\end{array}\right)\end{array}\right)\end{array}\right)\end{array}\right)\end{array}\right)\end{array}\right)$
ただ、こういう書き方は正しくないので、ちゃんと書くと次の通り。
$\left(\begin{array}{a}x_1\\x_2\\x_3\\:\\x_{n-2}\\x_{n-1}\\x_n\end{array}\right)= \left(\begin{array}{a}\cos\theta_{1→α_{n-2}:\alpha_{n-1}}\\\sin\theta_{1→α_{n-2}:\alpha_{n-1}}\cos\theta_{2→α_{n-3}:\alpha_{n-2}}\\\sin\theta_{1→α_{n-2}:\alpha_{n-1}}\sin\theta_{2→α_{n-3}:\alpha_{n-2}}\cos\theta_{3→α_{n-4}:\alpha_{n-3}}\\:\\\sin\theta_{1→α_{n-2}:\alpha_{n-1}}\sin\theta_{2→α_{n-3}:\alpha_{n-2}}\sin\theta_{3→α_{n-4}:\alpha_{n-3}}...\cos\theta_{n-2→\alpha_1:\alpha_2}\\\sin\theta_{1→α_{n-2}:\alpha_{n-1}}\sin\theta_{2→α_{n-3}:\alpha_{n-2}}\sin\theta_{3→α_{n-4}:\alpha_{n-3}}...\sin\theta_{n-2→\alpha_1:\alpha_2}\cos\theta_{n-1→n:\alpha_1}\\\sin\theta_{1→α_{n-2}:\alpha_{n-1}}\sin\theta_{2→α_{n-3}:\alpha_{n-2}}\sin\theta_{3→α_{n-4}:\alpha_{n-3}}...\sin\theta_{n-2→\alpha_1:\alpha_2}\sin\theta_{n-1→n:\alpha_1}\end{array}\right)$
　
このベクトルの第 $i$ 成分 $x_i$ は、
(1) $i=1～n-1$ のとき、
$x_i = \left(\prod_{k=1}^{i-1} \sin\theta_{k→\alpha_{n-k-1}:\alpha_{n-k}}\right)\cos\theta_{i→\alpha_{n-i-1}:\alpha_{n-i}}$ 但し $\alpha_0=x_n$
(2) $i=n$ のとき、
$x_i = \left(\prod_{k=1}^{i-1} \sin\theta_{k→\alpha_{n-k-1}:\alpha_{n-k}}\right)$ 但し $\alpha_0=x_n$ となる。